Evolution
Evolution
Dans cette séquence, nous rappelons les définitions et méthodes concernant :
Variation absolue
Variation relative
Taux d'évolution et coefficient multiplicateur associé
Évolutions successives
Évolution réciproque
Indice simple en base 100
Taux d'évolution moyen
Partie A
Taux d'évolution
Variation et évolution
Définition : Variation absolue
Lorsqu'une quantité (positive) passe d'une valeur
à une valeur
, on définit :
la variation absolue :
, exprimée dans l'unité des valeurs
la variation relative :
, qui est un nombre (sans unité )
le taux d'évolution
: c'est la variation relative exprimée en %
Remarque :
Pour le calcul de la variation relative, on peut également retenir la "formule" :
Des résultats négatifs indiquent une diminution (ou une baisse)
Des résultats positifs indiquent une augmentation (ou une hausse)
Complément : Propriété
Par définition, le taux d'évolution est
donc d'après la règle du produit en croix,
d'où
et en factorisant
on obtient :
On définit alors le coefficient multiplicateur associé au taux d'évolution
par :
Remarque :
Dans le cas d'une évolution à la baisse, le coefficient multiplicateur associé est compris entre 0 et 1 :
Dans le cas d'une évolution à la hausse, le coefficient multiplicateur est supérieur à 1 :
Méthode : L'utilisation du coefficient multiplicateur doit devenir un automatisme pour les calculs.
Lorsqu'une quantité évolue de t%, elle passe d'une valeur
à une valeur
Ainsi, appliquer une hausse de 5% revient à multiplier par
et appliquer une baisse de 5% revient à multiplier par
Exemple :
Dans un magasin, pendant les soldes, tout est soldé à -70%. Pour calculer le prix à payer il suffit donc de multiplier par 0,3. En effet,
Ainsi, 12€ deviennent 3,60 € (car 3
12=36) ; 130 € deviennent 39 € (car 13
3=39
Partie B
Évolutions successives, évolution réciproque.
Que se passe-t-il lorsqu'on doit appliquer successivement plusieurs évolutions ?
Comment fait-on pour "compenser" une évolution par une nouvelle évolution ?
Exemple : Le prix du baril de pétrole
Entre le 1er janvier 2011 et le 1er janvier 2013, le prix du baril de pétrole brut (Brent) a augmenté de 16,28 %.
Entre le 1er janvier 2013 et le 1er janvier 2015, le prix du baril de Brent a diminué de 56,82 %.
Quelle a été l'évolution (globale) du prix du baril de Brent entre le 1er janvier 2011 et le 1er janvier 2015 ?
Attention :
Les deux taux d'évolution ne s'ajoutent pas car ces évolutions ne s'appliquent pas sur le même prix.
Fondamental : Évolutions successives
Le coefficient multiplicateur associé à une succession d'évolutions est le produit des coefficients multiplicateurs associés aux évolutions successives.
Si on considère deux évolutions de coefficients
et
,
alors le coefficient multiplicateur global est
.
« Ce résultat se généralise aisément à plus de deux évolutions successives. »
Exemple :
Dans notre exemple, appelons
le coefficient multiplicateur associé à la première évolution de taux
,
le coefficient multiplicateur associé à la deuxième évolution de taux
et
le coefficient multiplicateur associé au taux global
,
on a :
d'où
, le prix du baril de Brent a baissé d'environ 49,79 % entre le 1er janvier 2011 et le 1er janvier 2015.
Exemple : "Compenser une évolution"
Lors du dernier bilan, une PME apprend que son chiffre d'affaires a baissé de 37,5%. Elle décide de faire le nécessaire pour rétablir le C.A. à son état initial.
Quel objectif doit-elle se fixer en terme d'évolution de son chiffre d'affaires ?
Fondamental : Évolution réciproque
Le taux d'évolution réciproque
% d'un taux d'évolution donné
%vérifie :
Autrement dit, le produit du coefficient multiplicateur associé à un taux avec le coefficient multiplicateur associé au taux réciproque correspondant est égal à 1. "
"d'où
Exemple : Revenons à notre exemple
On commence par calculer le coefficient multiplicateur associé à la baisse,
On calcule ensuite l'inverse de ce nombre
.
On termine en en déduisant le taux cherché
Pour compenser une baisse de chiffre d'affaires de 37,5%, l'entreprise doit se fixer un objectif d'augmentation de 60% pour la période à venir.
