Connecteurs logiques
A partir d'une ou plusieurs propositions, on peut construire d'autres propositions. Pour cela, on utilise des connecteurs logiques.
Nous allons découvrir les connecteurs « négation »
, « conjonction »
, « disjonction »
, « implication »
et « équivalence »
Définition : Négation
Le connecteur négation est un connecteur unitaire (qui agit sur une seule proposition).
Soit
une proposition, on appelle négation de la proposition
( et on note "non
" , "
" ou encore "
") la proposition vraie lorsque
est fausse et fausse lorsque
est vraie.
Table de vérité :
|
|
|---|---|
1 | 0 |
0 | 1 |
Exemple :
Reprenons des exemples de propositions et cherchons leur négation.
: un mois comporte au plus 31 jours (V) ;
: un mois comporte plus de 31 jours (F)
:
(V) ;
:
(F)
:
(F) ;
:
(V)
Définition : Conjonction
La conjonction est un connecteur binaire (qui agit avec deux propositions) et qui correspond au connecteur logique ET.
Soient P et Q deux propositions, la conjonction des propositions P, Q est la proposition R notée P et Q ou encore
.
(P et Q est Vrai) si et seulement si (P est Vrai et Q est Vrai).
Table de vérité :
|
|
|
|---|---|---|
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 0 |
Exemple :
P= "6 est un nombre pair" ; Q="6 est un multiple de 3" ;
est Vrai.
P= "6 est un nombre pair" ; Q="6 est un multiple de 5" ;
est Faux car Q est Faux.
Définition : Disjonction
La disjonction est un connecteur binaire (qui agit avec deux propositions) et qui correspond au connecteur logique OU.
Soient P et Q deux propositions, la conjonction des propositions P, Q est la proposition R notée P ou Q ou encore
.
(P ou Q est Vrai) si et seulement si (P est Vrai ou Q est Vrai).
Table de vérité :
|
|
|
|---|---|---|
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 0 |
Exemple :
P= "6 est un nombre pair" ; Q="6 est un multiple de 3" ;
est Vrai car P est Vrai ( ou encore car Q est Vrai)
P= "6 est un nombre pair" ; Q="6 est un multiple de 5" ;
est Vrai car P est Vrai.
Définition : Implication
Le connecteur implication est un connecteur logique binaire utilisé pour exprimer une relation de cause à effet. Il correspond au "Si ... Alors".
Soient P et Q deux propositions, P implique Q est la proposition notée
dont la valeur de vérité est donnée par la table :
|
|
|
|---|---|---|
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 1 |
Exemple :
Soit k un nombre réel donné, soit P la proposition "k>5", soit Q la proposition "k>0".
Si k>5 est Vrai alors k>0 est Vrai et si k>5 est Faux alors k>0 est soit Vrai soit Faux. On a donc bien P
Q D'après la table de vérité.
A titre d'exercice, trouver si possible une valeur de k telle que :
(P vrai) et (Q faux)
(P faux) et (Q vrai)
(P faux) et (Q faux)
Remarque : Remarques
En mathématiques on utilise essentiellement la première ligne de la table, et parfois la dernière lorsqu'on mène un raisonnement dit "par l'absurde".
On veillera à ne pas confondre
avec
(qui peut aussi s'écrire
) en effet, ce n'est pas parce que la première est Vraie que la seconde l'est.
Par exemple, soit k un nombre réel donné
est VRAI, mais
est FAUX.
Définition : Equivalence
Le connecteur équivalence est un connecteur logique binaire utilisé pour exprimer une relation de cause à effet et sa réciproque. Il correspond à la locution "... si et seulement si ...".
Soient P et Q deux propositions, P équivaut à Q est la proposition notée
dont la valeur de vérité est donnée par la table :
|
|
|
|---|---|---|
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 1 |
L'équivalence des proposition P et Q est donc la proposition vraie lorsque (P est Vraie et Q est Vraie) ou lorsque (P est Fausse et Q est Fausse).
Exemple :
Reprenons le contre exemple précédent.
Appelons P la proposition
et Q la proposition
. Nous savons déjà qu'on a P
Q mais pas Q
P.
Considérons à présent la proposition R : "
ET
". On a bien P
R et on a maintenant R
P ce qui signifie que P
R
