BTS - Comptabilité Gestion - Cours de Mathématiques

On définit une série statistique à deux variables lorsqu'on étudie deux caractères d'une même population.

Par exemple : Dans une entreprise, on relève pour les six derniers mois le nombre de commandes et le chiffre d'affaires réalisé . La donnée des couples constitue une série à deux variables.

Cette série statistique peut-être représentée par un nuage de points.

Les points du nuage ont pour coordonnées .

On appelle point moyen du nuage le point G qui a pour coordonnées

Dans notre exemple :

Lorsque le nuage de points s'y prête, c'est à dire lorsque le nuage semble s'étirer autour d'une droite, on peut chercher à définir une droite qui passe "au plus près" des points du nuage.

Il existe différentes droites d'ajustement affine, nous utiliserons essentiellement la droite de régression de y en x donnée par la calculatrice. L'équation de cette droite est calculée par la méthode dite des moindres carrés.

Ajustement par la droite de Mayer. On définit et les 2 points moyens obtenus en "coupant" la série en deux et on trace .

Ajustement par la droite de régression linéaire de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.

Méthode des moindres carrés. (voir le fichier droite-regression.ggb dans votre dossier /devoirs/ sur le réseau)

A, B, C, D, E, F, H et I sont les points du nuage pour lesquels on cherche la droite de régression de y en x.

On trace une droite passant par le point moyen G, et on définit les points , , etc... qui appartiennent à cette droite et qui ont respectivement les mêmes abscisses que les points A, B, etc ...

On cherche la pente de la droite qui passe par G et qui minimise + ...

L'équation de cette droite, sous la forme nous sera donnée par la machine à calculer ou le tableur.

En raisonnant de manière analogue à ce qui précède mais en cherchant à présent à minimiser les carrés des résidus mesurés "en x", on définit une deuxième droite de régression pour laquelle on donne une équation sous la forme .

Les nombres sont obtenus à la calculatrice à partir du travail précédent en échangeant simplement le rôle des variables .

Le coefficient de corrélation donné par la calculatrice lors de l'affichage de l'équation d'une droite de régression linéaire donne une information sur la "qualité" de l'ajustement ou encore sur le bien-fondé du choix d'un ajustement par la méthode des moindres carrés.

Quelques propriétés du coefficient de corrélation r

Soient les droites de régression d'une série statistique à deux variables.

• est un nombre compris entre -1 et 1

• 

• Si alors l'ajustement est "parfait", les droites sont confondues.