Loi Binomiale
Motivation
Nous souhaitons calculer des probabilités dans un schéma de Bernoulli, et nous l'avons déjà fait dans un précédent paragraphe en utilisant l'arbre binaire associé.
On se rend vite compte de la limite de cette méthode, en particulier lorsque le nombre de répétitions dépasse 4, la construction et la lecture de l'arbre deviennent vite problématiques, il nous faut un nouvel outil, c'est la loi binomiale.
Définition : LOI BINOMIALE
On considère la variable aléatoire
associée au nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres
et
.
La loi de probabilité suivie par cette variable aléatoire est la loi binomiale de paramètres
et
, on la note
.
-
est le nombre de répétitions de l'épreuve de Bernoulli ;
-
est la probabilité de succès de l'épreuve de Bernoulli.
Méthode de Calcul
Le programme de BTSCG ne prévoit pas de connaître les formules mathématiques permettant de calculer "à la main" les probabilités associées à la loi binomiale.
Par conséquent, nous ferons ces calculs en utilisant les fonctionnalités de la calculatrice (menu DIST ou DISTRIB) ou du tableur.
Exemple : Avec 5 devis
Reprenons notre exemple de VRP.
Il prend à présent 5 devis (dans les mêmes conditions que précédemment).
La variable aléatoire
associée au nombre de devis acceptés suit la loi binomiale
.
On peut utiliser un tableur pour construire le tableau de valeurs : la formule utilisée est LOI.BINOMIALE(valeur cible ; nombre de tentatives ; probabilité d'un succès ; cumul) où cumul est un booléen qui vaut False (0) lorsqu'on calcule une probabilité "ponctuelle"
et qui vaut True (1) lorsqu'on calcule une probabilité" cumulée"
Dans la cellule B3 on a écrit la formule =LOI.BINOMIALE(A3 ;5 ;0,3 ;0)
On peut donc lire dans ce tableau que :
la probabilité qu trois devis soient acceptés est de 0,1323 (c'est
)la probabilité qu'au moins deux devis soient acceptés est 0,4718 (C'est
)
Exercice : Retrouver le tableau ci-dessus à l'aide du tableur.
Méthode : Avec les calculatrices
CASIO
Dans le menu Stat, sélectionner DIST puis BINM et enfin Bpd pour une probabilité ponctuelle ou Bcd pour une probabilité cumulée.
TEXAS INSTRUMENT
Faire 2nde var pour accéder au menu distrib choisir 0 : binomFdp pour une probabilité pontuelle ou A : binomFRép pour une probabilité cumulée.
Remarque : Si la calculatrice est en Anglais, il faut choisir "binompdf" pour une probabilité ponctuelle et "binomcdf" pour une probabilité cumulée.
AUTRES MODÈLES OU CONSTRUCTEURS
Consultez le manuel d'utilisation.
Exercice :
Retrouver les résultats de l'exemple précédent en utilisant votre calculatrice.
Définition : ESPERANCE et ECART TYPE d'une LOI BINOMIALE
Ces résultats sont à connaître :
Pour une varaible aléatoire
suivant une loi binomiale
de paramètres
et
,
l'espérance est
la variance est
l'écart type est
Exemple : Avec 30 devis
Notre VRP prend 30 devis au hasard, s'il fait ceci « "un grand nombre de fois" »
il peut espérer obtenir en moyenne
devis acceptés avec un écart type de
