Loi normale
Présentation
La loi Normale est l'une des lois de probabilités les plus usitées. Elle rend compte de diverses mesures d'une grandeur donnée, faites à diverses reprises, chaque mesure étant sujette à des incertitudes ou des erreurs.
Cette loi est la loi de nombreux phénomènes continus qui fluctuent autour d'une valeur moyenne (habituellement notée
("mû") ) de manière aléatoire, elle prend en compte un grand nombre de causes indépendantes, dont les effets s'ajoutent sans que l'un deux soit dominant.
Exemple :
Par exemple, on mène une enquête sur les salaires bruts annuels à la première embauche des étudiants titulaires d'un BTS Comptabilité Gestion.
L'enquête révèle que le salaire moyen se situe à 30 k€/an avec un écart type de 5 k€/an.
En appelant
la variable aléatoire qui, à tout titulaire d'un BTS CG associe son salaire annuel de 1ere embauche en k€, on peut dire que
suit la loi normale de moyenne
et d'écart type
Représentation graphique de la situation.
La courbe ci-dessous est celle de la fonction densité associée à notre exemple :
Observons cette courbe :
Elle a la forme d'une "cloche", ce qui est caractéristique d'une loi normale.
Elle est symétrique par rapport à la droite d'équation
, (c'est la symétrie "autour de la moyenne")
Calculs :
Par conséquent, si on cherche à calculer
, on doit obtenir
pour des raisons de symétrie .
Si on veut connaître
, c'est à dire la probabilité que le salaire de l'étudiant choisi au hasard soit compris entre 25k€ et 35 k€, on utilise la calculatrice ou le tableur ou encore geogebra.
Calculatrice TI : sous le menu "distrib" on saisit normalFRèp(25,35,30,5)
Calculatrice Casio : sous le menu "dist" on saisit NormCD(25,35,5,30)
Excel : =Loi.normale(35 ;30 ;5 ;vrai)-Loi.normale(25 ;30 ;5 ;vrai)
Remarque : Calculatrices / tableur
Pour la loi normale, les calculatrices calculent des probabilités du type
, la syntaxe est : TI :
Casio :
Si on cherche à calculer une probabilité du type
à la calculatrice, une astuce consiste à mettre une valeur très inférieure à zéro pour la borne inférieure, par exemple :
Pour la loi normale, le tableur calcule des probabilités du type
et la syntaxe est :
.
Si on cherche à calculer une probabilité du type
avec le tableur,
on utilise la propriété habituelle
et on saisit la formule
Fondamental : Des résultats à retenir
Les résultats suivants doivent être connus.
Pour une loi normale de moyenne
et d'écart type
, on a :
Exemple : Exercice
Exercice :
Vérifier les résultats précédents avec les données de notre exemple, faire les calculs avec votre calculatrice puis avec un tableur.
